～単相電力計を用いた三相電力の計算～
問題
２個の単相電力計A及びBを図のように三相３線式平衡回路に接続した場合について、次の問に答えよ。ただし、星形電圧\(\dot{V_a}\)と線電流\(\dot{I_a}\)との位相差を\(\phi\)（遅れ電流）とし、相順を\(a\to b\to c\)とする。
（１）電力計Aの指示は、どのような値となるか。また、この値は、この三相平衡回路の無効電力とどのような関係にあるか。
（２）電力計A及びBの指示の和は、どんな値となるか。
解答
（１）電力計Aの指示は
\[\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin{\phi}\]
よって、回路無効電力の\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)と等しい。
（２）電力計AとBの指示の和は\(0\)となる。
解説
（１）
この回路のフェーザ図を示す。
電力計Aの指示値\(P_A\)は、電圧コイルにかかる電圧\(\dot{V_{bc}}\)の大きさと電流コイルに流れる電流\(\dot{I_a}\)の大きさに、両者の位相差の余弦を乗じたものとなる。
\[P_A=|\dot{V_{bc}}||\dot{I_a}|\cos{(\frac{\pi}{2}-\phi)}\]
線間電圧の大きさは星形電圧の\(\sqrt{3}\)倍、三角関数の加法定理\(\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)を用いて、
\[P_A=|\dot{V_{bc}}||\dot{I_a}|\cos{(\frac{\pi}{2}-\phi)}=\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin{\phi}\]
ここで、回路で消費される無効電力は
\[3|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin{\phi}\]
であるから、電力計Aの指示値を\(\sqrt{3}\)倍することで回路全体の消費無効電力となる。
\(\dot{V_a}\)が相電圧であることに留意する。
（２）
次に、電力計Bの指示値\(P_B\)を求める。
\[P_B=|\dot{V_{ba}}||\dot{I_c}|\cos{(\frac{\pi}{2}+\phi)}=-\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin{\phi}\]
よって、
\[P_A=\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin{\phi}\]
\[P_B=-\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin{\phi}\]
となり、両者の和は\(0\)である。
ちなみに、電圧コイルの極性を考慮する必要があり、特に電力計Bの電圧コイルにかかる電圧は\(\dot{V_{ba}}\)であることに留意する。
出典
昭和57年度第二種電気主任技術者筆記試験理論問3
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