電験二種　昭和57年　理論　問２

～単相電力計を用いた三相電力の計算～

問題

２個の単相電力計A及びBを図のように三相３線式平衡回路に接続した場合について、次の問に答えよ。ただし、星形電圧$\dot{V_a}$と線電流$\dot{I_a}$との位相差を$\varphi$（遅れ電流）とし、相順を$a\to b\to c$とする。

（１）電力計Aの指示は、どのような値となるか。また、この値は、この三相平衡回路の無効電力とどのような関係にあるか。

（２）電力計A及びBの指示の和は、どんな値となるか。

解答

（１）電力計Aの指示は

$$\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin \varphi$$

よって、回路無効電力の$\frac{1}{\sqrt{3}}$と等しい。

（２）電力計AとBの指示の和は$0$となる。

解説

（１）

この回路のフェーザ図を示す。

電力計Aの指示値$P_A$は、電圧コイルにかかる電圧$\dot{V_{bc}}$の大きさと電流コイルに流れる電流$\dot{I_a}$の大きさに、両者の位相差の余弦を乗じたものとなる。

$$P_A=|\dot{V_{bc}}||\dot{I_a}|\cos (\frac{\pi }{2}-\varphi )$$

線間電圧の大きさは星形電圧の$\sqrt{3}$倍、三角関数の加法定理$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$を用いて、

$$P_A=|\dot{V_{bc}}||\dot{I_a}|\cos (\frac{\pi }{2}-\varphi )=\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin \varphi$$

ここで、回路で消費される無効電力は

$$3|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin \varphi$$

であるから、電力計Aの指示値を$\sqrt{3}$倍することで回路全体の消費無効電力となる。

$\dot{V_a}$が相電圧であることに留意する。

（２）

次に、電力計Bの指示値$P_B$を求める。

$$P_B=|\dot{V_{ba}}||\dot{I_c}|\cos (\frac{\pi }{2}+\varphi )=-\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin \varphi$$

よって、

$$P_A=\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin \varphi$$

$$P_B=-\sqrt{3}|\dot{V_a}||\dot{I_a}|\sin \varphi$$

となり、両者の和は$0$である。

ちなみに、電圧コイルの極性を考慮する必要があり、特に電力計Bの電圧コイルにかかる電圧は$\dot{V_{ba}}$であることに留意する。

出典

昭和57年度第二種電気主任技術者筆記試験理論問3