電験二種　昭和57年　理論　問１

旧試験制度の過去問

2024.12.252025.01.09

～同心導体球における電界～

問題
解答
解説
出典

問題

図のように内球の半径 $r_{1}$ 、外球の内半径 $r_{2}$ の二つの同心導体球があり、その間に誘電率 $ε$ の絶縁体が満たされている。外球の内半径 $r_{2}$ 及び両球間の電位差 $V$ をそれぞれ一定とした場合、内球の表面における電界の強さを最小にするには、その半径 $r_{1}$ をいくらにすればよいか。

解答

内球表面の電界を最小にする半径 $r_{1}$ は

$r_{1} = \frac{r_{2}}{2}$

解説

　 $Q$ [C]の電荷をもつ導体球の中心から $r$ の地点の電界は、誘電率を $ε$ とすると、ガウスの法則より次式で求められる。

$\oint E \cdot d s = \frac{Q}{ε}$

$4 π r^{2} E = \frac{Q}{ε} \to E = \frac{Q}{4 π ε r^{2}}$

ただし、導体球内の電界は $0$ である。

$r_{1}$ 、 $r_{2}$ 間の電位 $V$ は、定義より

$V = - \int_{r_{2}}^{r_{1}} E \cdot d r = \frac{Q}{4 π ε} \int_{r_{2}}^{r_{1}} \frac{1}{r^{2}} = \frac{Q}{4 π r^{2}} (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})$

$V$ 、 $r_{2}$ が一定であることから、 $Q$ は $r_{1}$ の関数となる。

$Q = \frac{4 π ε V}{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}$

これを導体球表面の電界の式に代入し、

$E = \frac{Q}{4 π ε r_{1}^{2}} = \frac{\frac{4 π ε V}{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}}{4 π ε r_{1}^{2}} = \frac{V}{r_{1} - \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}}} = \frac{V r_{2}}{r_{1} r_{2} - r_{1}^{2}}$

導体球表面の電界が最小になるとき、 $r_{1}$ は $E$ の分母が最大値をとるときの値となる。

$E$ の分母を抜き出し、これを $y$ とおくと、 $\frac{d y}{d r_{1}} = 0$ となるときの $r_{1}$ が $y$ の最大値となる。

$\frac{d y}{d r_{1}} = \frac{d}{d r_{1}} (r_{1} r_{2} - r_{1}^{2}) = r_{2} - 2 r_{1} = 0$

よって、

$r_{1} = \frac{r_{2}}{2}$

出典

昭和57年度第二種電気主任技術者筆記試験理論問1