電験二種昭和54年理論問２ - もぎたて学習ノート

～過渡現象～

問題
解答
解説
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問題

図において、回路が定常状態にあるとき、時刻 $t = 0$ においてスイッチ $S$ を閉じた。次の問に答えよ。

（１） $t > 0$ においてインダクタンスを流れる電流を求めよ。ただし、 $R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1} = K$ とする。

（２）（１）の電流の過渡項の時定数は、いくらか。

（３）有限の $R_{3}$ の値に対して、（１）の電流が、スイッチ $S$ を閉じても、時間に対して変化しない条件を求めよ。

解答

（１）

$\frac{E}{K} (R_{3} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{2})} t})$

（２）

$\frac{L (R_{1} + R_{3})}{K} = \frac{L (R_{1} + R_{3})}{R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1}}$

（３）

$R_{1} = 0$ または $R_{2} = 0$

解説

回路に流れる電流を以下のように定義する。

図から、以下の回路方程式が成り立つ。

$E = R_{1} (i_{1} (t) + i_{2} (t)) + i_{1} (t) R_{2} + L \frac{d i_{1} (t)}{d t}$

$i_{2} (t)$ を消去するため、もう１つの回路方程式を立てる。

$i_{2} (t) R_{3} = i_{1} (t) R_{2} + L \frac{d i_{1} (t)}{d t}$

$i_{2} (t)$ を消去し、以下の微分方程式が導出される。

$E = L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}}) \frac{d i_{1} (t)}{d t} + i_{1} (t) (R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}})$

（１）インダクタンスに流れる電流

変数分離による微分方程式の解

$E = L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}}) \frac{d i_{1} (t)}{d t} + i_{1} (t) (R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}})$

定常解 $i_{1 s} (t)$ は $\frac{d i_{1} (t)}{d t}$ が０になっているため

$E = i_{1} (t) (R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}}) \to i_{1} (t) = \frac{E}{R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}}}$

$= \frac{E R_{3}}{R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1}} = \frac{E R_{3}}{K}$

過渡解 $i_{1 t} (t)$ は、 $E = 0$ として

$L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}}) \frac{d i_{1 t} (t)}{d t} + i_{1 t} (t) (R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}}) = 0$

$\frac{1}{i_{1 t} (t)} \frac{d i_{1 t} (t)}{d t} = - \frac{R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}}}{L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}})} = - \frac{R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1}}{L (R_{1} + R_{3})} = - \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})}$

両辺を $t$ で積分する。積分定数を $C$ とする。

$\int \frac{1}{i_{1 t} (t)} \frac{d i_{1} (t)}{d t} d t = \int - \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} d t$

$\ln i_{1 t} (t) = - \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t + C$

ここで $e^{C} = A$ とおくと

$i_{1 t} (t) = A e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t}$

$i_{1} (t)$ は $i_{1 s} (t)$ と $i_{1 t} (t)$ の和であることから

$i_{1} (t) = \frac{E R_{3}}{K} + A e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t}$

初期条件は、 $t = 0$ のとき $i_{1} (t) = \frac{E}{R_{1} + R_{2}}$ より（ $L$ は短絡となっていた）

$\frac{E}{R_{1} + R_{2}} = \frac{E R_{3}}{K} + A \to A = \frac{E}{R_{1} + R_{2}} - \frac{E R_{3}}{K}$

$A = \frac{E}{K} (\frac{K}{R_{1} + R_{2}} - R_{3}) = \frac{E}{K} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$

よって

$i_{1} (t) = \frac{E R_{3}}{K} + \frac{E}{K} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t} = \frac{E}{K} (R_{3} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t})$

ラプラス変換による微分方程式の解

$E = L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}}) \frac{d i_{1} (t)}{d t} + i_{1} (t) (R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}})$

上式をラプラス変換して

$\frac{E}{s} = L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}}) (s I_{1} (s) - i_{1} (0)) + I_{1} (s) (R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}})$

$i_{1} (0) = \frac{E}{R_{1} + R_{2}}$ より

$\frac{E}{s} = I_{1} (s) (s L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}}) + R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}}) - L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}}) \frac{E}{R_{1} + R_{2}}$

$I_{1} (s)$ について解くと

$I_{1} (s) = \frac{E}{s (s L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}}) + R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}})} + \frac{E L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}})}{(R_{1} + R_{2}) (s L (1 + \frac{R_{1}}{R_{3}}) + R_{1} + R_{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}})}$

$R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1} = K$ となるように変形して

$I_{1} (s) = \frac{E R_{3}}{s (s L (R_{1} + R_{3}) + K)} + \frac{E L (R_{1} + R_{3})}{(R_{1} + R_{2}) (s L (R_{1} + R_{3}) + K)}$

$= \frac{\frac{E R_{3}}{L (R_{1} + R_{3})}}{s (s + \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})})} + \frac{E}{(R_{1} + R_{2}) (s + \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})})}$

第一項を部分分数分解し、ラプラス逆変換できるように変形する。

$I_{1} (s) = \frac{E R_{3}}{K} (\frac{1}{s} - \frac{1}{s + \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})}}) + \frac{E}{(R_{1} + R_{2}) (s + \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})})}$

ラプラス逆変換して

$i_{1} (t) = \frac{E R_{3}}{K} (1 - e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t}) + \frac{E}{R_{1} + R_{2}} e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t}$

$= \frac{E}{K} (R_{3} + (\frac{K}{R_{1} + R_{2}} - R_{3}) e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t})$

$= \frac{E}{K} (R_{3} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t})$

なっが。

（２）時定数

一般的に、過渡項は、定数を $A$ 時定数を $τ$ とすると

$A e^{- \frac{t}{τ}}$

と表される。時定数だけ時間が経過すると、 $A$ の $36.8$ %に減少することになる。よって、時定数は

$τ = \frac{L (R_{1} + R_{3})}{K} = \frac{L (R_{1} + R_{3})}{R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1}}$

（３）（１）の電流がスイッチ $S$ を閉じても時間的に変化しない条件

$i_{1} (t) = \frac{E}{K} (R_{3} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} e^{- \frac{K}{L (R_{1} + R_{3})} t})$

より、時間に依存するのは第二項のみである。この減衰項の係数は $\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ より、 $R_{1}$ 、または $R_{2}$ が $0$ のとき時間に対して無関係になる。

$R_{1}$ 、 $R_{2}$ ともに $0$ のときは短絡なのでマズい。

ちなみに、この時の電流は $R_{1} = 0$ のとき

$i_{1} (t) = \frac{E R_{3}}{R_{2} R_{3}} = \frac{E}{R_{2}}$

$R_{2} = 0$ のとき

$i_{1} (t) = \frac{E R_{3}}{R_{3} R_{1}} = \frac{E}{R_{1}}$

出典

昭和54年度第二種電気主任技術者筆記試験理論問２

電験二種　昭和54年　理論　問２

問題

解答

解説

（１）インダクタンスに流れる電流

変数分離による微分方程式の解

ラプラス変換による微分方程式の解

（２）時定数

（３）（１）の電流がスイッチ $S$ を閉じても時間的に変化しない条件

出典

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問題

解答

解説

（１）インダクタンスに流れる電流

変数分離による微分方程式の解

ラプラス変換による微分方程式の解

（２）時定数

（３）（１）の電流がスイッチSを閉じても時間的に変化しない条件

出典

コメント

（３）（１）の電流がスイッチ $S$ を閉じても時間的に変化しない条件