電験二種昭和56年理論問２ - もぎたて学習ノート

～交流回路のインピーダンス～

問題

図のように二端子回路の端子 $a$ 、 $b$ からみたインピーダンス $\dot{Z}$ が周波数に無関係に一定であるための条件を求めよ。

$\dot{Z}$ が周波数に無関係になる条件は

$R_{1} = R_{2} = \sqrt{\frac{L}{C}}$

各周波数を $ω$ としたときのインピーダンスを求める。

$\dot{Z} = \frac{(R_{1} + j ω L) (R_{2} + \frac{1}{j ω C})}{(R_{1} + j ω L) + (R_{2} + \frac{1}{j ω C})}$

$= \frac{R_{1} R_{2} + \frac{L}{C} + j (ω L R_{2} - \frac{R_{1}}{ω C})}{R_{1} + R_{2} + j (ω L - \frac{1}{ω C})}$

$\dot{Z}$ が周波数に無関係となるためには、 $\dot{Z}$ の虚部が $0$ であり、実部が一定である必要がある。

この定数を $\dot{Z} = k$ とおくと、

$k = \frac{R_{1} R_{2} + \frac{L}{C} + j (ω L R_{2} - \frac{R_{1}}{ω C})}{R_{1} + R_{2} + j (ω L - \frac{1}{ω C})}$

ここで、次の２式が成立する。

$R_{1} R_{2} + \frac{L}{C} = k (R_{1} + R_{2})$

$ω L R_{2} - \frac{R_{1}}{ω C} = k (ω L - \frac{1}{ω C})$

上式より、

$ω L (R_{2} - k) = \frac{1}{ω C} (R_{1} - k)$

周波数に無関係になるためには、

$R_{2} = k R_{1} = k$

を同時に満たす必要がある。

これを $R_{1} R_{2} + \frac{L}{C} = k (R_{1} + R_{2})$ に代入すると、

$k^{2} + \frac{L}{C} = 2 k^{2}$

$k = \sqrt{\frac{L}{C}}$

以上より、

$k = R_{1} = R_{2} = \sqrt{\frac{L}{C}}$

昭和56年度第二種電気主任技術者筆記試験理論問2