電験二種昭和60年理論問２ - もぎたて学習ノート

～直流電源・交流電源の複合回路～

問題
解答
解説
1. 重ね合わせの理による解法
2. 複素電源への変換による解法
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問題

図示のような回路において、抵抗 $R_{1}$ 及び $R_{2}$ を流れる電流の瞬時値 $i_{1}$ 及び $i_{2}$ を求めよ。ただし、 $E$ は直流起電力で、 $e_{1}$ 及び $e_{2}$ はそれぞれ次式で表される交流起電力とし、また、 $L_{1}$ 及び $L_{2}$ はインダクタンス、 $C$ は静電容量とする。

$e_{1} = \sqrt{2} E_{1} \sin (ω t + ϕ_{1})$

$e_{2} = \sqrt{2} E_{2} \sin (2 ω t + ϕ_{2})$

解答

$i_{1} = \frac{\sqrt{2} E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1} - \frac{1}{ω C})^{2}}} \sin (ω t + ϕ_{1} - θ_{11})$

$i_{2} = \frac{E}{R_{2}} + \frac{\sqrt{2} E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1})^{2}}} \sin (ω t + ϕ_{1} - θ_{21}) - \frac{\sqrt{2} E_{2}}{\sqrt{R_{2}^{2} + (2 ω L_{2})^{2}}} \sin (2 ω L_{2} + ϕ_{2} - θ_{2})$

解説

重ね合わせの理による解法

交流電圧源を短絡除去したときの回路

交流電圧源を短絡除去したときの回路は図のようになる。

直流（周波数ゼロ）に対しては、インダクタは短絡、コンデンサは開放となる。

$I_{1} = 0 、 I_{2} = \frac{E}{R_{2}}$

直流電圧源、交流電圧源 $e_{2}$ を短絡除去したときの回路

直流電圧源、交流電圧源 $e_{2}$ を短絡除去したときの回路は図のようになる。

$i_{11} = \frac{\sqrt{2} E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1} - \frac{1}{ω C})^{2}}} \sin (ω t + ϕ_{1} - θ_{11})$

$i_{21} = \frac{\sqrt{2} E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1})^{2}}} \sin (ω t + ϕ_{1} - θ_{21})$

ただし、

$θ_{11} = \tan^{- 1} \frac{ω L_{1} - \frac{1}{ω C}}{R_{1}} 、 θ_{21} = \tan^{- 1} \frac{ω L_{2}}{R_{2}}$

$i_{11}$ は、リアクタンス $ω L_{1} - \frac{1}{ω C}$ の分だけ位相が遅れ、

$i_{21}$ は、リアクタンス $ω L_{2}$ の分だけ位相が遅れる。

直流電圧源、交流電圧源 $e_{1}$ を短絡除去したときの回路

直流電圧源、交流電圧源 $e_{1}$ を短絡除去したときの回路は図のようになる。

$e_{1}$ 、 $E$ のあったブランチは短絡されていることから、 $i_{12}$ には電流が流れない。

$i_{12} = 0$

$i_{22} = - \frac{\sqrt{2} E_{2}}{\sqrt{R_{2}^{2} + (2 ω L_{2})^{2}}} \sin (2 ω L_{2} + ϕ_{2} - θ_{2})$

ただし、

$θ_{2} = \tan^{- 1} \frac{2 ω L_{2}}{R_{2}}$

重ね合わせ

$i_{1} = I_{1} + i_{11} + i_{21}$

$= 0 + \frac{\sqrt{2} E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1} - \frac{1}{ω C})^{2}}} \sin (ω t + ϕ_{1} - θ_{11}) + 0$

$= \frac{\sqrt{2} E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1} - \frac{1}{ω C})^{2}}} \sin (ω t + ϕ_{1} - θ_{11})$

$i_{2} = I_{2} + i_{12} + i_{22}$

$= \frac{E}{R_{2}} + \frac{\sqrt{2} E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1})^{2}}} \sin (ω t + ϕ_{1} - θ_{21}) - \frac{\sqrt{2} E_{2}}{\sqrt{R_{2}^{2} + (2 ω L_{2})^{2}}} \sin (2 ω L_{2} + ϕ_{2} - θ_{2})$

複素電源への変換による解法

与えられた電圧源を複素電圧源へ変換する。

$\dot{E} = E$

$\dot{E_{1}} = E_{1} e^{j (ω t + ϕ_{1})}$

$\dot{E_{2}} = E_{2} e^{j (2 ω t + ϕ_{2})}$

この複素電圧源の虚数をとることでもとの瞬時電圧に変換できる。

また、求める電流 $i_{1}$ 、 $i_{2}$ を複素電流 $\dot{I_{1}}$ 、 $\dot{I_{2}}$ とする。

$\dot{I_{1}}$ について

コンデンサ $C$ が含まれるため、 $\dot{I_{1}}$ は $\dot{E}$ に依存しない。

$\dot{I_{1}} = \frac{\dot{E_{1}}}{R_{1} + j (ω L_{1} - \frac{1}{ω C})}$

$= \frac{E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1} - \frac{1}{ω C})^{2}}} e^{j (ω t + ϕ_{1} - θ_{1})}$

ただし、

$θ_{1} = \tan^{- 1} \frac{ω L_{1}}{R_{1}}$

$\dot{I_{2}}$ について

それぞれの複素電圧源に作用する複素インピーダンスの値が異なることから、それぞれについて検討する。

$\dot{E}$ による電流 $\dot{I_{20}}$

直流電圧源に対しては、インダクタは短絡となることから、

$\dot{I_{20}} = \frac{E}{R_{2}}$

$\dot{E_{1}}$ による電流 $\dot{I_{21}}$

重ね合わせの理と同じように、

$\dot{I_{21}} = \frac{E_{1}}{\sqrt{R_{2}^{2} + (ω L_{2})^{2}}} e^{j (ω L_{2} + ϕ_{1} - θ_{21})}$

ただし、

$θ_{21} = \tan^{- 1} \frac{ω L_{2}}{R_{2}}$

$\dot{E_{2}}$ による電流 $\dot{I_{22}}$

重ね合わせの理と同じように、

$\dot{I_{22}} = - \frac{E_{2}}{\sqrt{R_{2}^{2} + (2 ω L_{2})^{2}}} e^{j (ω L_{2} + ϕ_{1} - θ_{22})}$

ただし、

$θ_{22} = \tan^{- 1} \frac{2 ω L_{2}}{R_{2}}$

瞬時値へ逆変換

$\dot{I_{1}} = \frac{E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1} - \frac{1}{ω C})^{2}}} e^{j (ω t + ϕ_{1} - θ_{1})}$

$\dot{I_{2}} = \frac{E}{R_{2}} + \frac{E_{1}}{\sqrt{R_{2}^{2} + (ω L_{2})^{2}}} e^{j (ω L_{2} + ϕ_{1} - θ_{21})} - \frac{E_{2}}{\sqrt{R_{2}^{2} + (2 ω L_{2})^{2}}} e^{j (ω L_{2} + ϕ_{1} - θ_{22})}$

$\sqrt{2}$ 倍し、虚数をとると

$\dot{I_{1}} = \frac{\sqrt{2} E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1} - \frac{1}{ω C})^{2}}} \sin (ω t + ϕ_{1} - θ_{1})$

$\dot{I_{2}} = \frac{E}{R_{2}} + \frac{\sqrt{2} E_{1}}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ω L_{1})^{2}}} \sin (ω t + ϕ_{1} - θ_{21}) - \frac{\sqrt{2} E_{2}}{\sqrt{R_{2}^{2} + (2 ω L_{2})^{2}}} \sin (2 ω L_{2} + ϕ_{2} - θ_{22})$

ただし、

$θ_{1} = \tan^{- 1} \frac{ω L_{1}}{R_{1}} 、 θ_{21} = \tan^{- 1} \frac{ω L_{2}}{R_{2}} 、 θ_{22} = \tan^{- 1} \frac{2 ω L_{2}}{R_{2}}$

出典

昭和60年度第二種電気主任技術者筆記試験理論問2

電験二種　昭和60年　理論　問２

問題

解答