電験二種　昭和55年　理論　問２

～単相交流回路～

問題

図のように、抵抗、インダクタンス及びキャパシタンスの３素子が直列に接続されている回路に交番電圧$\dot{E}$（角周波数$\omega$）を印加したとき、次の問に答えよ。

（１）流れる電流の大きさの絶対値$|\dot{I}|$を求め、かつ、$|\dot{I}|$の$\omega$による変化を示す図を定性的に描け。

（２）回路に消費される平均電力が、直列共振時の平均電力の$\frac{1}{2}$になる半電力点の角周波数を求めよ。ただし、共振角周波数を${\omega }_0$とする。

（３）この回路の共振時の電圧拡大率$Q$（共振の尖鋭度）を、${\omega }_0$及び半電力点の角周波数をもって示せ。

解答

（１）流れる電流の大きさの絶対値$|\dot{I}|$は

$$|\dot{I}|=\frac{E}{\sqrt{R^2+{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^2}}$$

$|\dot{I}|$の$\omega$による変化を図に示す。

（２）半電力点の角周波数${\omega }_1$、${\omega }_2$は

$${\omega }_1=-\frac{R}{2L}+\sqrt{{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2+{\omega }_0^2}$$

$${\omega }_2=\frac{R}{2L}+\sqrt{{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2+{\omega }_0^2}$$

（３）共振時の電圧拡大率$Q$（共振の尖鋭度）は

$$Q=\frac{{\omega }_0}{{\omega }_2-{\omega }_1}$$

解説

（１）

回路のインピーダンス$\dot{Z}$の大きさ$|\dot{Z}|$は

$$|\dot{Z}|=Z=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})}$$

であることから、$|\dot{I}|=\frac{E}{Z}$より

$$|\dot{I}|=\frac{E}{\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})}}$$

$|\dot{I}|$の$\omega$による変化を描くため、インピーダンスを複素数$\dot{Z}$で考える。

$$\dot{Z}=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})$$

よって、$\dot{Z}$が$\omega$によって変化するには虚部のみである。

$\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$となるときが共振であり、$\dot{Z}$の虚部が$0$となり$Z$が最小となる($Z=R$)。このときの$\omega$は

$$\omega L-\frac{1}{\omega C}=0\to \omega L=\frac{1}{\omega C}\to \omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

電圧を基準ベクトルとしたときのインピーダンスのフェーザ図を示す。

$\omega$が変化しても$\dot{Z}$の実部は変化しない（フェーザ図中の点線）。

矢印の長さが大きさに当たることから、力率100%のときインピーダンスが最小であり、$\dot{E}$を中心に対称に動く。

ただし、$\omega =0$（直流）ではコンデンサが開放と等価であることから、$|\dot{I}|=0$となる。

これを基に$|\dot{I}|$のグラフを描くと、以下のようになる。

（２）

直列共振時、流れる電流は$I_0=\frac{E}{R}$となる。

電流は、抵抗値が一定のとき電力の平方根に比例することから、半電力での電流$I_{half}$は$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍となり、

$$I_{half}=\frac{I_0}{\sqrt{2}}$$

が成り立つ。これより、$\frac{I_0}{I_{half}}=\sqrt{2}$という関係から、半電力での角周波数を${\omega }_h$とおくと、

$$\frac{I_0}{I_{half}}=\sqrt{2}=\frac{\frac{E}{R}}{\frac{E}{\sqrt{R^2+{({\omega }_{h}L-\frac{1}{{\omega }_{h}C})}^2}}}=\frac{\sqrt{R^2+{({\omega }_{h}L-\frac{1}{{\omega }_{h}C})}^2}}{R}$$

$$2R^2=R^2+{({\omega }_{h}L-\frac{1}{{\omega }_{h}C})}^2\to R^2={({\omega }_{h}L-\frac{1}{{\omega }_{h}C})}^2$$

$${\omega }_{h}L-\frac{1}{{\omega }_{h}C}=\pm R$$

よって、${\omega }_h$は２つ存在する。

${\omega }_1$

${\omega }_{h}L<\frac{1}{{\omega }_{h}C}$のときの${\omega }_h$を${\omega }_1$とすると

$${\omega }_{1}L-\frac{1}{{\omega }_{1}C}=-R\to {\omega }_1^{2}LC-1=-{\omega }_{1}CR$$

$${\omega }_1^2+\frac{R}{L}{\omega }_1-\frac{1}{LC}=0$$

$\frac{1}{\sqrt{LC}}={\omega }_0$より、

$${\omega }_1^2+\frac{R}{L}{\omega }_1-{\omega }_0^2=0$$

$${\omega }_1=\frac{-\frac{R}{L}\pm \sqrt{{\left(\frac{R}{L}\right)}^2+4{\omega }_0^2}}{2}$$

$\omega$は正の値であることから、

$${\omega }_1=\frac{-\frac{R}{L}+\sqrt{{\left(\frac{R}{L}\right)}^2+4{\omega }_0^2}}{2}=-\frac{R}{2L}+\sqrt{{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2+{\omega }_0^2}$$

${\omega }_2$

${\omega }_{h}L>\frac{1}{{\omega }_{h}C}$のときの${\omega }_h$を${\omega }_2$とすると

$${\omega }_{2}L-\frac{1}{{\omega }_{2}C}=R\to {\omega }_2^{2}LC-1={\omega }_{2}CR$$

$${\omega }_2^2-\frac{R}{L}{\omega }_2-{\omega }_0^2=0$$

$${\omega }_2=\frac{\frac{R}{L}\pm \sqrt{{\left(\frac{R}{L}\right)}^2+4{\omega }_0^2}}{2}$$

$\omega$は正の値であることから、

$${\omega }_2=\frac{\frac{R}{L}+\sqrt{{\left(\frac{R}{L}\right)}^2+4{\omega }_0^2}}{2}=\frac{R}{2L}+\sqrt{{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2+{\omega }_0^2}$$

（３）

電圧拡大率（尖鋭度）$Q$は、回路の鋭さを表している。

$$Q=\frac{{\omega }_0}{{\omega }_2-{\omega }_1}$$

と定義される。

（２）より、${\omega }_2-{\omega }_1=\frac{R}{L}$であり、

$$Q=\frac{{\omega }_0}{{\omega }_2-{\omega }_1}=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}CR}$$

とも表せる。

$\omega ={\omega }_0$のとき、${\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}$となることに留意（直列共振）。

出典

昭和55年度第二種電気主任技術者筆記試験理論問2