電験二種　昭和55年　送配電　問２

～配電線路の電力損失～

問題

給電点における年間最大負荷電流$100$[A]、配電距離$1$[km]で、直径$5$[mm]の硬銅線（長さ$1$[m]、断面積$1$[mm${}^2$]の抵抗は$\frac{1}{55}$[Ω]とする）を使用した三相３線式$6$[kV]高圧配電線路がある。線路中の年間損失電力量は、何キロワット時となるか。ただし、負荷は、全配電線路にわたり平等に分布し、かつ、同一の負荷曲線を有するものとし、年損失係数を$0.3$とする。

解答

$24300$[kW･h]

解説

問題の条件を図に示す。

ここで、変数は$x$、$I_x$である。

負荷密度$i$は

$$i=\frac{I}{l}$$

負荷端から$x$[km]の地点における電流を$I_x$とすると、

$$I_x=ix=\frac{x}{l}I$$

よって、電流は給電点から負荷端に向かうにつれて直線的に減少する。

一線あたりの抵抗を$r$[Ω/km]とすると、電力損失$P_l$は微小距離$dx$での電力損失$d{p}_l$を負荷端から給電点まで積分することで求められる。

$$P_l={\int }_0^{l}d{p}_l={\int }_0^{l}3I_x^{2}rdx={\int }_0^{l}3{\left(\frac{x}{l}I\right)}^{2}rdx$$

$$=\frac{3I^{2}r}{l^2}{\int }_0^l{x}^{2}dx=\frac{3I^{2}r}{l^2}[\frac{1}{3}{x}^3{]}_0^l=I^{2}rl[W]$$

ここで、$r$は距離に比例し、断面積に反比例することから、比例計算して

$$r=\frac{1}{55}\times \frac{\frac{1000}{\pi {\left(\frac{5}{2}\right)}^2}}{\frac{1}{1}}=0.92599[\Omega ]$$

年間損失係数は$0.3$であることから、１年間（8760時間）の電力損失$W$は

$$W=I^{2}rl\times 0.3\times 1\times 8760\times {10}^{-3}$$

$$={100}^2\times 0.92599\times 0.3\times 1\times 8760\times {10}^{-3}$$

$$=24335.017\to 24300[kW･h]$$

ちなみに、年損失係数は以下で定義される。

$$\mathrm{損}\mathrm{失}\mathrm{係}\mathrm{数}=\frac{\mathrm{あ}\mathrm{る}\mathrm{期}\mathrm{間}\mathrm{の}\mathrm{電}\mathrm{流}\mathrm{の}\mathrm{二}\mathrm{乗}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{均}}{\mathrm{そ}\mathrm{の}\mathrm{期}\mathrm{間}\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{電}\mathrm{流}\mathrm{の}\mathrm{二}\mathrm{乗}}$$

出典

昭和55年度第二種電気主任技術者筆記試験送配電問２