電験二種　昭和54年　理論　問１

～環状ソレノイド～

問題

図のような平均半径$R$、比透磁率${\mu }_s$で、断面積$S_1$の円形断面をもつ心環に巻いた総巻数$N_1$の環状ソレノイドの上に、さらに総巻数$N_2$、断面積$S_2$の環状ソレノイドを巻いてある。この場合の各ソレノイドの自己インダクタンス$L_1$、$L_2$及び両者間の相互インダクタンス$M$並びに両者間の結合係数$K$を求めよ。ただし、心環の断面の半径は$R$に比べて非常に小さく、また、巻線１のソレノイドの内部及び巻線１、２間の空間の磁束密度はそれぞれ一様で、漏れ磁束はないものとし、なお、空間の比透磁率を１、真空の透磁率を${\mu }_0$とする。

解答

$$L_1=\frac{{\mu }_0{\mu }_s{S}_1{N}_1^2}{2\pi R}$$

$$L_2=\frac{({\mu }_0({\mu }_s-1)S_1+S_2)N_2^2}{2\pi R}$$

$$M=\frac{{\mu }_0{\mu }_s{S}_1{N}_1{N}_2}{2\pi R}$$

$$K=\sqrt{\frac{{\mu }_s{S}_1}{({\mu }_s-1)S_1+S_2}}$$

解説

$L_1$

巻線１にのみ電流$I_1$を流すとき、断面積$S_1$の心環中を通る磁束${\varphi }_1$は、起磁力$F_{m1}$、磁気抵抗$R_{m1}$とすると

$$F_{m1}=N_1{I}_1 R_{m1}=\frac{2\pi R}{{\mu }_0{\mu }_s{S}_1}$$

となることから、

$${\varphi }_1=\frac{F_{m1}}{R_{m1}}=\frac{N_1{I}_1}{\frac{2\pi R}{{\mu }_0{\mu }_s{S}_1}}=\frac{{\mu }_0{\mu }_s{N}_1{I}_1{S}_1}{2\pi R}$$

巻線１の自己インダクタンス$L_1$は

$$L_1=\frac{N_1{\varphi }_1}{I_1}=\frac{{\mu }_0{\mu }_s{S}_1{N}_1^2}{2\pi R}$$

$L_2$

巻線２のみに電流$I_2$を流すとき、断面積$S_2$の心環中を通る磁束${\varphi }_2$は起磁力$F_{m2}$、磁気抵抗$R_{m2}$とすると

$$F_{m2}=N_2{I}_2$$

ここで$R_{m2}$は下図の赤色と青色の領域の磁気抵抗の並列であることから、

$$R_{m2}=\frac{1}{\frac{{\mu }_0{\mu }_s{S}_1}{2\pi R}+\frac{{\mu }_0(S_2-S_1)}{2\pi R}}=\frac{2\pi R}{{\mu }_0(({\mu }_s-1)S_1+S_2)}$$

よって

$${\varphi }_2=\frac{F_{m2}}{R_{m2}}=\frac{{\mu }_0{N}_2{I}_2(({\mu }_s-1)S_1+S_2)}{2\pi R}$$

巻線２の自己インダクタンス$L_2$は

$$L_2=\frac{N_2{\varphi }_2}{I_2}=\frac{{\mu }_0{N}_2^2(({\mu }_s-1)S_1+S_2)}{2\pi R}$$

$M$

２通りの求め方があるので、それぞれ紹介する。

巻線１による磁束${\varphi }_1$が巻線２に鎖交

${\varphi }_1$はそのすべてが巻線２に鎖交する。よって、相互インダクタンス$M$は

$$M=\frac{N_2{\varphi }_1}{I_1}=\frac{{\mu }_0{\mu }_s{N}_1{N}_2{S}_1}{2\pi R}$$

巻線２による磁束${\varphi }_2$が巻線１に鎖交

${\varphi }_2$は、一部が巻線１と鎖交する。巻線１と鎖交する磁束を${\varphi }_{2\to 1}$とすると

$${\varphi }_{2\to 1}=\frac{\frac{2\pi R}{{\mu }_0(S_2-S_1)}}{\frac{2\pi R}{{\mu }_0{\mu }_s{S}_1}+\frac{2\pi R}{{\mu }_0(S_2-S_1)}}{\varphi }_2=\frac{{\mu }_0{\mu }_s{N}_2{I}_2{S}_1}{2\pi R}$$

よって、相互インダクタンス$M$は

$$M=\frac{N_1{\varphi }_{2\to 1}}{I_2}=\frac{{\mu }_0{\mu }_s{N}_1{N}_2{S}_1}{2\pi R}$$

$k$

結合係数$k$は

$$M=k\sqrt{L_1{L}_2}\to k=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}=\sqrt{\frac{{\mu }_s{S}_1}{({\mu }_s-1)S_1+S_2}}$$

出典

昭和54年度第二種電気主任技術者筆記試験理論問1