電験二種　昭和60年　理論　問１

～円形同軸ケーブルの磁束密度～

問題

図示のような円形同軸ケーブルの内外導体に、往復電流$I$が一様な密度で流れている。各部の磁束密度を半径$r$の関数として求め、その分布の概略図を描け。

解説

導体が十分に長いとして、そこから$r$離れた地点の磁束密度は真空中の透磁率を${\mu }_0$としてアンペアの周回積分の法則から次式で表せる。

$${\oint }_{c}B\cdot dl={\mu }_{0}I$$

$$2\pi rB={\mu }_{0}I\to B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$

$0<r\leqq a$のとき

閉曲線内を通過する電流$I(r)$は、導体には一様に電流が流れていることから電流密度で求める。

$$I(r)=\frac{I}{\pi a^2}\times \pi r^2=\frac{r^2}{a^2}I$$

$B(r)=\frac{{\mu }_{0}I(r)}{2\pi r}$より

$$B(r)=\frac{{\mu }_0}{2\pi r}\times \frac{r^2}{a^2}I=\frac{{\mu }_{0}rI}{2\pi a^2}$$

よって、$r$に比例する。

$a<r\leqq b$のとき

上記と同様に電流を求めると、$I$となる。よって、

$$B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$

より、$r$に反比例する。

$b<r\leqq c$のとき

上記と同様に電流を求めると、

$$I(r)=I+\frac{\pi (r^2-b^2)}{\pi (c^2-b^2)}(-I)=\frac{c^2-r^2}{c^2-b^2}I$$

代入し、

$$B(r)=\frac{{\mu }_0}{2\pi r}\times \frac{c^2-r^2}{c^2-b^2}I=\frac{{\mu }_{0}I(c^2-r^2)}{2\pi r(c^2-b^2)}$$

$c<r$のとき

閉曲線内の電流は

$$I(r)=I+(-I)=0$$

より、$B(r)=0$となる。

グラフ化

$0<r\leqq a$のとき$B(r)=\frac{{\mu }_{0}rI}{2\pi a^2}$

$a<r\leqq b$のとき$B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

$b<r\leqq c$のとき$B(r)=\frac{{\mu }_{0}I(c^2-r^2)}{2\pi r(c^2-b^2)}$

$c<r$のとき$B(r)=0$

これらをまとめると、以下のグラフとなる。

出典

昭和60年度第二種電気主任技術者筆記試験理論問1